在網上看到一篇很特別的文章, 跟大家分享一下:
數字、數學與人類進化
鄭磊/文
人類文明是伴隨著語言、文字和數字一起發展的。在語言誕生之前，表情和動作曾經是溝通的手段，而數字可能來自計數的需要。古人類即使不需要與人溝通，也需要數數，因此早在37000年前就發現了人類刻在木棒、石板上的用來計數的刻痕。從計數到數字，再到進位製、代數、幾何，一直到近代數學，這是人類大腦發育的另一條主線。很多人都害怕數學，這不奇怪，因為幾萬年發展出的這個知識體系，很多人並不需要全部掌握，滿足人類基本日常需要的數學概念和方法並不多。如果要對數學這個體系有個籠統的瞭解，建議閱讀《極簡數學史》(Problem Solved!: The Great Breakthroughs in Mathematics) 這本小冊子，其最大特點是“簡”到每章只有3-5頁，裡面還配了大量彩圖和歷史小知識，生動有趣，能夠基本滿足普通讀者瞭解數學概貌的需求。在讀完這本小書之後，如果還有興趣的話，我推薦另一本由數學史專家莫里斯·克萊因撰寫的更全面、更專業的《數學簡史：確定性的消失》。
大家可能已經很難記起小時候學算術遇到的困難了，但是在幼童時期，人已經有了數量多少的概念，然後大人會教小孩先用5個手指理解1-5對應的物品，而數字其實是抽像的，從具體數量的物品到適用一切物品的可以獨立使用的數字1-5，是一個認知跨越。然後幼兒又學會了數6-10，正好可以用兩隻手來計數。這就為學習十進製打好了基礎，然後學習兩位數加法、減法，九九乘法表。現在的幼兒教育很發達，而在幾十年前，小學二三年級才能學會這些簡單的算術知識。這個過程只是現代人繼承古人很早以前發明的東西，可以想像先民在幾千年前遇到的難度更大。數學發展最快的地區也是人類文明起源最早的地區，在兩河地區，蘇美爾人在公元前4000年就開始使用六十進製了，最巧妙的是，他們只使用了7個符號。至今人們找不到六十進製在日常生活中的參照物，唯一知道的是當時的古巴比倫已經是農業和商業最發達的地區。在它的附近，古希臘、古埃及，以及古人類遷移較早到達的印度地區都出現了高超的數學大師，比如畢達哥拉斯、泰勒斯、花剌子模、婆羅摩笈多等。阿拉伯數字也來自印度。古埃及人很早就知道如何解一元一次方程，古巴比倫人已經能夠解出二次方程和三次方程。
從具象的物品到抽像的數字需要幾萬年時間，又經過了近千年，才跨越到用字母表示的抽像代數運算的階段。阿拉伯數學家、天文學家、地理學家Alkhwarizmi發明了移項與合併同類項，在這個基礎上他撰寫了一本現在稱作Algebra的書。有趣的是這位數學家的名字經過各種語言轉譯，在英語里寫作ALGORITHM，也就是我們常說的“算法”一詞。ALGEBRA（代數學）在西班牙語里加了一個代表職業的後綴ista，變成ALGEBRISTA，指的卻是“接骨師”，倒是與移項有異曲同工之妙。作者用非常通俗易懂的話寥寥數筆就基本解釋了一種數學方法，比如傅里葉分析被說成是將任何複雜波形分解為各種正弦波的過程。只要學過一些初等數學都能夠理解。
對於空間的認知，顯然也屬於數學發展的範疇。一維到三維都很容易理解，其實人類生活在四維空間里，人類能夠感知時間以及事物隨時間的變化，這就是四維的認知。維度N大於4的空間就只能依靠推理了。人們依靠降維方法理解高維空間。比如在給定的時間，你可以得到一個三維的物品，你可以切開它，觀察剖面，這是二維的，還可以用尺子在這個面上畫一條線，得到一維圖像，這個過程經過了三次降維。立體幾何習題也是通過降維變成平面幾何題才能進行求解。
隨機性是另一個較深奧的數學概念，需要先學習排列組合知識，這也是數學考試最容易出錯的部分。概率論的大數定律和中心極限定理都很抽像，但是作者用拋擲硬幣簡單地給出了一個大家都知道的結果：拋的次數越多，正反兩面出現的次數越接近對半。而對於一個方差有限的總體，你隨機抽取的樣本數量越大，樣本的分佈圖形越類似對稱的鍾形曲線，用樣本計算的平均值越接近總體均值。而作者給出的經驗是抽樣數量應該不少於30個。這個小知識很有用，如果你想知道一大堆物品的某個指標的平均值，只需要隨機從中抽取不少於30個樣品進行測量，畫出分佈曲線，算出平均值，基本就可以掌握這個情況了。數學很難，但是每個人都應該懂一些基本的知識。（作者：鄭磊 ）
